Nombre Complexe et Affixe

 

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels qui permettent de résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans l'ensemble des réels. Un nombre complexe est généralement représenté sous la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels, et ( i ) est l'unité imaginaire, telle que ( i^2 = -1 ).

Représentation Géométrique

Les nombres complexes peuvent être représentés géométriquement dans un plan appelé plan complexe ou plan d'Argand-Gauss. Dans ce plan, l'axe horizontal représente la partie réelle du nombre complexe, et l'axe vertical représente la partie imaginaire.

Affixe d'un Point

L'affixe d'un point dans le plan complexe est le nombre complexe qui représente ce point. Si un point ( P ) a pour coordonnées ( (a, b) ) dans le plan complexe, alors l'affixe de ( P ) est le nombre complexe ( z = a + bi ).

Exemple

Supposons que nous avons un point ( P ) avec les coordonnées ( (3, 4) ). L'affixe de ce point est :

[ z = 3 + 4i ]

Propriétés des Nombres Complexes

Module et Argument

• Module : Le module d'un nombre complexe ( z = a + bi ) est la distance de ce point à l'origine dans le plan complexe, notée ( |z| ) et calculée par la formule :
  [ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

• Argument : L'argument d'un nombre complexe est l'angle ( \theta ) que fait le rayon avec l'axe des réels positifs, mesuré dans le sens anti-horaire. Il est souvent noté ( \arg(z) ).

Forme Trigonométrique

Un nombre complexe peut également être exprimé en forme trigonométrique :
[ z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta) ]

Cette forme est particulièrement utile pour la multiplication et la division de nombres complexes.

Opérations sur les Nombres Complexes

Addition et Soustraction

Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, il suffit d'additionner ou de soustraire leurs parties réelles et imaginaires séparément :

• ( z_1 = a + bi )

• ( z_2 = c + di )

Addition :
[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i ]

Soustraction :
[ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i ]

Multiplication

La multiplication de deux nombres complexes utilise la distributivité et la propriété de l'unité imaginaire ( i^2 = -1 ) :

[ z_1 \times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i ]

Division

La division de nombres complexes fait intervenir le conjugué du dénominateur :

Si ( z_2 \neq 0 ), (\ z_1/z_2 = \frac{z_1 \times \bar{z_2}}{|z_2|^2} ), où (\bar{z_2}) est le conjugué de ( z_2 ).

En maîtrisant ces concepts, on peut mieux comprendre et manipuler les nombres complexes dans divers contextes mathématiques et physiques.