Séries d'Exercices sur les Nombres Complexes

 

Les nombres complexes sont une partie essentielle des mathématiques avancées, souvent utilisés en ingénierie et en physique. Voici une série d'exercices avec leurs solutions pour vous aider à mieux comprendre ce sujet.

Exercice 1 : Introduction aux Nombres Complexes

Énoncé :
Exprimez les nombres suivants sous la forme ( a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des réels.

1. ( (3 + 4i) + (2 - 3i) )

2. ( (5 + 6i) - (3 + 2i) )

3. ( 4i \times (1 - i) )

Solution :

1. ( (3 + 4i) + (2 - 3i) = 5 + i )

2. ( (5 + 6i) - (3 + 2i) = 2 + 4i )

3. ( 4i \times (1 - i) = 4i - 4i^2 = 4i + 4 = 4 + 4i )

Exercice 2 : Module et Argument

Énoncé :
Calculez le module et l'argument des nombres complexes suivants.

1. ( z = 3 + 4i )

2. ( z = 1 - i )

Solution :

1. Module : ( \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 )
   Argument : ( \tan^{-1}(\frac{4}{3}) )

2. Module : ( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} )
   Argument : ( \tan^{-1}(-1) )

Exercice 3 : Multiplication et Conjugaison

Énoncé :
Effectuez les opérations suivantes et exprimez les résultats sous forme de nombre complexe.

1. Multipliez ( (2 + 3i) ) par ( (4 - i) ).

2. Trouvez le conjugé de ( z = 5 - 6i ) et calculez ( z \times \bar{z} ).

Solution :

1. ( (2 + 3i) \times (4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i )

2. Conjugé : ( \bar{z} = 5 + 6i )
   ( z \times \bar{z} = (5 - 6i)(5 + 6i) = 25 + 36 = 61 )

Exercice 4 : Division de Nombres Complexes

Énoncé :
Divisez les nombres complexes suivants et exprimez le résultat sous forme ( a + bi ).

1. ( \frac{3 + 2i}{1 - i} )

Solution :

1. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
   ( \frac{3 + 2i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{1 + 1} = \frac{3 + 3i + 2i - 2}{2} = \frac{1 + 5i}{2} = 0.5 + 2.5i )

Conclusion

Ces exercices vous offrent un bon point de départ pour explorer les propriétés des nombres complexes. N'hésitez pas à pratiquer davantage pour maîtriser ce sujet fascinant. Si vous avez besoin d'un document PDF comprenant ces exercices et solutions, envisagez de les compiler à l'aide d'un logiciel de traitement de texte avec une option d'exportation en PDF.