Séries d'Exercices sur les Nombres Complexes

 

Les nombres complexes sont une partie essentielle des mathématiques avancées, et maîtriser leur manipulation est crucial pour les étudiants. Voici une série d'exercices avec des corrections pour vous aider à comprendre et pratiquer les concepts liés aux nombres complexes.

Exercice 1 : Addition et Soustraction de Nombres Complexes

Énoncé :
Soient ( z_1 = 3 + 4i ) et ( z_2 = 1 - 2i ). Calculez ( z_1 + z_2 ) et ( z_1 - z_2 ).

Correction :

• Addition :
  [ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4i - 2i) = 4 + 2i ]

• Soustraction :
  [ z_1 - z_2 = (3 + 4i) - (1 - 2i) = (3 - 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i ]

Exercice 2 : Multiplication de Nombres Complexes

Énoncé :
Calculez le produit de ( z_1 = 2 + 3i ) et ( z_2 = 4 - i ).

Correction :

• [ z_1 \times z_2 = (2 + 3i)(4 - i) = 2 \times 4 + 2 \times (-i) + 3i \times 4 + 3i \times (-i) ]

• [ = 8 - 2i + 12i - 3i^2 ]

• Rappel : ( i^2 = -1 ), donc ( -3i^2 = 3 ).

• [ = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i ]

Exercice 3 : Module d'un Nombre Complexe

Énoncé :
Trouvez le module de ( z = -1 + i ).

Correction :

• Le module de ( z ) est donné par ( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ), où ( z = a + bi ).

• [ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ]

Exercice 4 : Conjugaison de Nombres Complexes

Énoncé :
Trouvez le conjugué de ( z = 7 - 5i ).

Correction :

• Le conjugué de ( z ), noté ( \overline{z} ), est obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire :

• [ \overline{z} = 7 + 5i ]

Exercice 5 : Division de Nombres Complexes

Énoncé :
Calculez ( \frac{z_1}{z_2} ) pour ( z_1 = 1 + 2i ) et ( z_2 = 3 - i ).

Correction :

• Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

• [ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} ]

• [ = \frac{3 + i + 6i + 2i^2}{3^2 - (i)^2} ]

• [ = \frac{3 + 7i - 2}{9 + 1} ]

• [ = \frac{1 + 7i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i ]

Ces exercices couvrent les opérations de base sur les nombres complexes et incluent des corrections détaillées pour faciliter votre apprentissage. Pour un document PDF complet, envisagez de compiler ces exercices dans un fichier à l'aide d'un éditeur de texte et d'un outil de conversion PDF.