L'Argument d'un Nombre Complexe

 

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et sont souvent représentés sous la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels et ( i ) est l'unité imaginaire telle que ( i^2 = -1 ). Un des concepts clés associés aux nombres complexes est l'argument.

Définition de l'Argument

L'argument d'un nombre complexe est l'angle que forme le vecteur représentatif du nombre complexe avec l'axe des abscisses dans un plan complexe. Cet angle est mesuré dans le sens antihoraire à partir de l'axe des réels positifs.

Calcul de l'Argument

L'argument d'un nombre complexe ( z = a + bi ) peut être calculé à l'aide de la fonction arctangente. On utilise généralement la formule suivante pour le calculer:

[ \text{arg}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) ]

Cas Particuliers

• Si ( a > 0 ) : L'argument est simplement (\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)).

• Si ( a < 0 ) et ( b \geq 0 ) : L'argument est (\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) + \pi).

• Si ( a < 0 ) et ( b < 0 ) : L'argument est (\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) - \pi).

• Si ( a = 0 ) et ( b > 0 ) : L'argument est (\frac{\pi}{2}).

• Si ( a = 0 ) et ( b < 0 ) : L'argument est (-\frac{\pi}{2}).

Exemple d'Application

Prenons le nombre complexe ( z = 1 + i ).

1. Calcul de l'Argument: [ \text{arg}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} ]

2. Représentation en Forme Trigonométrique: Le nombre complexe peut aussi être représenté en utilisant sa norme et son argument: [ z = |z| \left( \cos(\theta) + i\sin(\theta) \right) ] où ( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ) est le module de ( z ) et ( \theta = \text{arg}(z) ).

   Pour ( z = 1 + i ), le module est (\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}). Donc: [ z = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) ]

Conclusion

L'argument d'un nombre complexe est une partie essentielle de sa représentation en forme polaire. En permettant de décrire la position du nombre dans le plan complexe, il facilite les opérations telles que la multiplication et la division de nombres complexes.