La Forme Exponentielle des Nombres Complexes

 

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et peuvent être exprimés sous différentes formes. L'une des plus élégantes et utiles est la forme exponentielle. Cette représentation est particulièrement avantageuse en analyse complexe et en ingénierie.

Définition de la Forme Exponentielle

Un nombre complexe ( z ) peut être exprimé sous la forme cartésienne comme suit :

[ z = a + bi ]

où ( a ) est la partie réelle et ( b ) est la partie imaginaire du nombre complexe. La forme exponentielle utilise les coordonnées polaires pour représenter ce même nombre :

[ z = re^{i\theta} ]

où :

• ( r ) est le module de ( z ), soit ( r = \sqrt{a^2 + b^2} ),

• ( \theta ) est l'argument de ( z ), l'angle formé avec l'axe réel, calculé comme ( \theta = \text{atan2}(b, a) 

• ).

Avantages de la Forme Exponentielle

1. Simplicité des Calculs : Les multiplications et divisions de nombres complexes sont plus simples en utilisant la forme exponentielle. Pour deux nombres complexes ( z_1 = r_1 e^{i\theta_1} ) et ( z_2 = r_2 e^{i\theta_2} ), le produit est :

   [ z_1 \times z_2 = (r_1 \times r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)} ]

   et le quotient est :

   [ \frac{z_1}{z_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right) e^{i(\theta_1 - \theta_2)} ]

2. Facilité des Puissances et Racines : Élever un nombre complexe à une puissance ou en extraire une racine est plus aisé. Par exemple, pour ( z^n ), on a :

   [ z^n = r^n e^{in\theta} ]

3. Lien avec les Fonctions Trigonométriques : La formule d'Euler relie la forme exponentielle aux fonctions trigonométriques :

   [ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta ]

   Cette relation facilite la conversion entre la forme exponentielle et la forme trigonométrique.

Exemple de Conversion

Considérons un nombre complexe ( z = 3 + 4i ).

1. Calcul du module ( r ) :

   [ r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

2. Calcul de l'argument ( \theta ) :

   [ \theta = \text{atan2}(4, 3) \approx 0.93 \text{ radians} ]

3. Forme exponentielle :

   [ z = 5e^{i \times 0.93} ]

La forme exponentielle offre une perspective puissante et simplifiée pour travailler avec des nombres complexes, particulièrement utile dans le domaine des circuits électriques et des vibrations mécaniques.