La Forme Trigonométrique d'un Nombre Complexe

 

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et sont généralement exprimés sous la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels, et ( i ) est l'unité imaginaire, telle que ( i^2 = -1 ). Cependant, il existe une autre manière d'exprimer les nombres complexes, connue sous le nom de forme trigonométrique. Cette représentation est particulièrement utile pour les opérations telles que la multiplication et la division.

Représentation Trigonométrique

La forme trigonométrique d'un nombre complexe repose sur sa représentation dans le plan complexe. Un nombre complexe ( z = a + bi ) peut être représenté par un point dans un plan où l'axe horizontal représente la partie réelle ( a ) et l'axe vertical représente la partie imaginaire ( b ).

Module et Argument

Pour exprimer un nombre complexe en forme trigonométrique, nous avons besoin de deux éléments clés : le module et l'argument.

• Module (( r )) : Le module d'un nombre complexe ( z ) est la distance du point représentant le nombre au point originaire du plan complexe, et est calculé comme suit : [ r = \sqrt{a^2 + b^2} ]

• Argument (( \theta )) : L'argument d'un nombre complexe est l'angle ( \theta ) que fait la ligne reliant le point à l'origine avec l'axe réel positif. Cet angle peut être déterminé par : [ \theta = \text{atan2}(b, a) ] où (\text{atan2}) est la fonction arc tangente prenant en compte le quadrant où se trouve le point.

Forme Trigonométrique

Une fois le module et l'argument déterminés, le nombre complexe peut être exprimé en forme trigonométrique : [ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ]

Exemple

Prenons un nombre complexe ( z = 3 + 4i ).

1. Calcul du module : [ r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

2. Calcul de l'argument : [ \theta = \text{atan2}(4, 3) \approx 0.93 \text{ radians} ]

3. Forme trigonométrique : [ z = 5 (\cos 0.93 + i \sin 0.93) ]

Avantages de la Forme Trigonométrique

La forme trigonométrique simplifie plusieurs opérations :

• Multiplication et division de nombres complexes deviennent plus simples, car les modules se multiplient ou se divisent, et les arguments s'additionnent ou se soustraient.

• Puissances et racines des nombres complexes peuvent être calculées facilement en utilisant les propriétés exponentielles.

La forme trigonométrique est donc un outil puissant et pratique pour manipuler les nombres complexes, en particulier dans les domaines de l'électronique, du traitement du signal, et de la physique, où les formes polaires et exponentielles sont courantes.