Tableau de la Fonction ( f(x) )

 

Un tableau de variations est un outil utile pour représenter graphiquement les variations d'une fonction. Il montre comment la fonction croît ou décroît sur un intervalle donné. Voici comment construire un tableau de variations pour une fonction ( f(x) ).

Étapes pour Construire un Tableau de Variations

1. Déterminer l'ensemble de définition : Identifiez l'ensemble sur lequel la fonction est définie.

2. Calculer les dérivées : Trouvez la dérivée première ( f'(x) ) pour analyser les variations et la dérivée seconde ( f''(x) ) pour la concavité.

3. Trouver les points critiques : Résolvez ( f'(x) = 0 ) pour trouver les points critiques.

4. Analyser le signe de la dérivée : Déterminez le signe de ( f'(x) ) sur les intervalles définis par les points critiques.

5. Construire le tableau : Indiquez les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les valeurs aux points critiques.

Exemple de Tableau de Variations

Supposons que nous avons une fonction ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ).

Calcul des Dérivées

• Dérivée première : ( f'(x) = 3x^2 - 6x )

• Dérivée seconde : ( f''(x) = 6x - 6 )

Points Critiques

• Résolvons ( f'(x) = 0 ):

  • ( 3x(x - 2) = 0 )

  • ( x = 0 ) et ( x = 2 ) sont les points critiques.

Signe de la Dérivée

• Pour ( x < 0 ), ( f'(x) > 0 )

• Pour ( 0 < x < 2 ), ( f'(x) < 0 )

• Pour ( x > 2 ), ( f'(x) > 0 )

Tableau de Variations

Intervalle	Signe de ( f'(x) )	Variation
( x < 0 )	( + )	Croissant
( 0 )	( 0 )	Ext. local
( 0 < x < 2 )	( - )	Décroissant
( 2 )	( 0 )	Ext. local
( x > 2 )	( + )	Croissant

Avec ce tableau, vous pouvez visualiser comment la fonction varie sur son domaine.