Exercice : Calcul de la Racine Carrée d'un Nombre Complexe

 

Dans cet exercice, nous allons apprendre à calculer la racine carrée d'un nombre complexe. Les nombres complexes sont de la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels, et ( i ) est l'unité imaginaire telle que ( i^2 = -1 ).

Méthode pour trouver la racine carrée d'un nombre complexe

Pour trouver la racine carrée d'un nombre complexe ( z = a + bi ), nous cherchons un nombre complexe ( w = x + yi ) tel que ( w^2 = z ). Cela signifie que :

[ (x + yi)^2 = a + bi ]

En développant cette équation, nous obtenons :

[ x^2 - y^2 + 2xyi = a + bi ]

En comparant les parties réelles et imaginaires, nous avons :

1. ( x^2 - y^2 = a )

2. ( 2xy = b )

Pour résoudre ces équations, procédez comme suit :

1. Calculez le module de ( z ) : ( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} )

2. Utilisez les formules suivantes :

   [ x = \pm \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} ]

   [ y = \pm \sqrt{\frac{|z| - a}{2}} ]

3. Choisissez les signes de ( x ) et ( y ) en fonction de l'équation ( 2xy = b ) pour respecter le signe de ( b ).

Exemple

Prenons le nombre complexe ( z = 3 + 4i ).

1. Calculez le module :

   [ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

2. Calculez ( x ) et ( y ) :

   [ x = \pm \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} = \pm \sqrt{4} = \pm 2 ]

   [ y = \pm \sqrt{\frac{5 - 3}{2}} = \pm \sqrt{1} = \pm 1 ]

3. Choisissez les signes :

   Pour que ( 2xy = 4 ), essayons ( x = 2 ) et ( y = 1 ) :

   [ 2 \times 2 \times 1 = 4 ]

   Cela fonctionne, donc une solution est ( w = 2 + i ).

Ainsi, la racine carrée de ( z = 3 + 4i ) est ( 2 + i ).

Entraînez-vous avec d'autres nombres complexes pour maîtriser cette méthode!