Exercice : Calcul de la Racine Carrée d'un Nombre Complexe

 

Introduction

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et sont souvent représentés sous la forme ( a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels et ( i ) est l'unité imaginaire, telle que ( i^2 = -1 ). Calculer la racine carrée d'un nombre complexe peut sembler intimidant, mais en suivant une méthode structurée, cela devient plus facile.

Méthode pour Calculer la Racine Carrée

Pour trouver la racine carrée d'un nombre complexe ( z = a + bi ), nous cherchons un nombre complexe ( w = x + yi ) tel que ( w^2 = z ). Cela signifie que nous devons résoudre :

[ (x + yi)^2 = a + bi ]

En développant le carré du binôme, nous avons :

[ x^2 + 2xyi - y^2 = a + bi ]

Ce qui donne deux équations :

1. ( x^2 - y^2 = a )

2. ( 2xy = b )

Étapes de Résolution

1. Trouver ( x ) et ( y ) :

   • Utilisez la deuxième équation pour exprimer ( y ) en fonction de ( x ) :
     [ y = \frac{b}{2x} ]

   • Remplacez dans la première équation :
     [ x^2 - \left(\frac{b}{2x}\right)^2 = a ]

   • Multipliez l'équation par ( x^2 ) pour éliminer le dénominateur :
     [ x^4 - ax^2 - \frac{b^2}{4} = 0 ]

2. Résoudre l'équation quadratique en ( x^2 ) :

   • Cette équation est une équation quadratique en ( x^2 ). Résolvez-la pour trouver ( x^2 ) :
     [ x^2 = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{2} ]

3. Déterminer les valeurs de ( x ) et ( y ) :

   • Trouvez ( x ) à partir de ( x^2 ) en prenant la racine carrée :

     • S'il y a deux solutions pour ( x^2 ), choisissez celles qui satisfont ( 2xy = b ).

   • Utilisez ces valeurs pour trouver ( y ) : [ y = \frac{b}{2x} ]

Exemple Pratique

Exemple : Trouvons la racine carrée de ( z = 3 + 4i ).

1. Calcul de ( x^2 ) : [ x^2 = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 + 4^2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} ]

2. Solutions possibles :

   • ( x^2 = \frac{8}{2} = 4 ), donc ( x = \pm 2 )

   • ( x^2 = \frac{-2}{2} = -1 ), donc ( x ) n'est pas réel.

3. Calcul de ( y ) :

   • Pour ( x = 2 ), ( y = \frac{4}{2 \times 2} = 1 )

   • Pour ( x = -2 ), ( y = \frac{4}{2 \times (-2)} = -1 )

Solution : Les racines carrées possibles de ( 3 + 4i ) sont ( 2 + i ) et ( -2 - i ).

Conclusion

En suivant cette méthode, vous pouvez calculer la racine carrée de n'importe quel nombre complexe. Avec de la pratique, vous deviendrez plus à l'aise avec ces calculs, qui sont essentiels dans de nombreux domaines des mathématiques et de l'ingénierie