Les fonctions exponentielles jouent un rôle crucial en mathématiques et en sciences, car elles modélisent des phénomènes de croissance et de décroissance dans le temps. Voici un exercice pour tester votre compréhension des fonctions exponentielles.
Énoncé de l'Exercice
Considérez la fonction exponentielle ( f(x) = a \cdot e^{bx} ), où ( a ) et ( b ) sont des constantes réelles, et ( e ) est la base du logarithme naturel, environ égale à 2,718.
Questions
Valeurs Initiales :
Si ( f(0) = 5 ), déterminez la valeur de ( a ).Taux de Croissance :
Supposons que la fonction décrit une population qui double tous les 3 ans. Déterminez la valeur de ( b ).Évaluation de la Fonction :
Calculez ( f(3) ) si ( a = 5 ) et ( b ) est la valeur que vous avez trouvée à la question précédente.Interprétation Graphique :
Décrivez le comportement général de la fonction ( f(x) ) pour des valeurs positives et négatives de ( b ).
Réponses
Valeurs Initiales :
Pour ( f(0) = 5 ), nous avons :
[ f(0) = a \cdot e^{b \cdot 0} = a \cdot e^0 = a = 5 ]
Donc, ( a = 5 ).Taux de Croissance :
Si la population double tous les 3 ans, alors :
[ f(3) = 2 \cdot f(0) = 2 \cdot 5 = 10 ] En utilisant la formule ( f(x) = 5 \cdot e^{bx} ), on a :
[ 10 = 5 \cdot e^{3b} \quad \Rightarrow \quad e^{3b} = 2 ] En prenant le logarithme naturel :
[ 3b = \ln(2) \quad \Rightarrow \quad b = \frac{\ln(2)}{3} ]Évaluation de la Fonction :
En utilisant ( a = 5 ) et ( b = \frac{\ln(2)}{3} ) :
[ f(3) = 5 \cdot e^{3 \cdot \frac{\ln(2)}{3}} = 5 \cdot e^{\ln(2)} = 5 \cdot 2 = 10 ]Interprétation Graphique :
Pour ( b > 0 ) : La fonction ( f(x) ) est croissante. Cela signifie que la valeur de ( f(x) ) augmente à mesure que ( x ) augmente.
Pour ( b < 0 ) : La fonction ( f(x) ) est décroissante. Cela signifie que la valeur de ( f(x) ) diminue à mesure que ( x ) augmente.
Cet exercice vous aide à comprendre comment manipuler et interpréter les fonctions exponentielles dans différents contextes.
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