La fonction exponentielle est un concept fondamental en mathématiques souvent étudié dans les cursus de BTS. Voici quelques exercices typiques pour vous aider à mieux comprendre et maîtriser ce sujet.
Exercice 1 : Calcul de Valeurs
Calculez les valeurs suivantes en utilisant la fonction exponentielle :
( e^3 )
( e^{-2} )
( e^{0.5} )
Solution :
( e^3 \approx 20.09 )
( e^{-2} \approx 0.1353 )
( e^{0.5} \approx 1.6487 )
Exercice 2 : Équations Exponentielles
Résolvez les équations suivantes :
( e^x = 5 )
( e^{2x} = 16 )
( e^{x+1} = 7 )
Solution :
( x = \ln(5) \approx 1.609 )
( 2x = \ln(16) ), donc ( x = \frac{\ln(16)}{2} \approx 1.386 )
( x+1 = \ln(7) ), donc ( x = \ln(7) - 1 \approx 0.946 )
Exercice 3 : Propriétés de l'Exponentielle
Appliquez les propriétés de la fonction exponentielle pour simplifier les expressions suivantes :
( e^x \cdot e^y )
( \frac{e^x}{e^y} )
( (e^x)^2 )
Solution :
( e^x \cdot e^y = e^{x+y} )
( \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} )
( (e^x)^2 = e^{2x} )
Exercice 4 : Applications Pratiques
Une population de bactéries double toutes les 3 heures. Si la population initiale est de 100 bactéries, exprimez la population en fonction du temps ( t ) en heures.
Solution :
La population peut être exprimée par la formule exponentielle :
[ P(t) = 100 \cdot e^{kt} ]
Sachant que la population double toutes les 3 heures, ( P(3) = 200 ). Donc :
[ 100 \cdot e^{3k} = 200 ]
[ e^{3k} = 2 ]
[ 3k = \ln(2) ]
[ k = \frac{\ln(2)}{3} ]
Ainsi, l'expression de la population est :
[ P(t) = 100 \cdot e^{\frac{\ln(2)}{3} \cdot t} ]
Ces exercices vous permettront de vous familiariser avec les calculs et propriétés de la fonction exponentielle. N'hésitez pas à répéter ces exercices pour renforcer vos compétences
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