Exercices Intégrales Bibmath pour BTS

 

Voici une sélection d'exercices d'intégration inspirés des ressources de Bibmath, conçus pour renforcer vos compétences en calcul intégral et vous préparer efficacement aux examens de BTS.

Exercice 1 : Intégration d'une fonction exponentielle

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante : [ \int e^{2x} , dx ]

Solution :

Pour intégrer une fonction exponentielle de la forme ( e^{kx} ), on utilise la règle : [ \int e^{kx} , dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C ]

Appliquons cette règle à notre intégrale : [ \int e^{2x} , dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C ]

Exercice 2 : Intégration d'une fonction trigonométrique

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante : [ \int \sin(x) \cos(x) , dx ]

Solution :

Utilisons l'identité trigonométrique : [ \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) ]

Ainsi, l'intégrale devient : [ \int \sin(x) \cos(x) , dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) , dx ]

Intégrons en utilisant la formule pour (\int \sin(kx) , dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C) : [ \frac{1}{2} \int \sin(2x) , dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) + C ]

La solution est donc : [ \int \sin(x) \cos(x) , dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C ]

Exercice 3 : Intégration d'une fonction logarithmique

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante : [ \int \frac{\ln(x)}{x} , dx ]

Solution :

Utilisons l'intégration par parties en choisissant ( u = \ln(x) ) et ( dv = \frac{1}{x} , dx ).

• Alors, ( du = \frac{1}{x} , dx ) et ( v = \ln(x) ).

Appliquons la formule d'intégration par parties : [ \int u , dv = uv - \int v , du ]

[ \int \frac{\ln(x)}{x} , dx = \ln(x) \cdot \ln(x) - \int \ln(x) \cdot \frac{1}{x} , dx ]

Cependant, l'intégrale du terme ( \int \ln(x) \cdot \frac{1}{x} , dx ) réapparaît. Observons que la solution est : [ = \frac{1}{2} (\ln(x))^2 + C ]

Exercice 4 : Intégration d'une fonction trigonométrique

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante : [ \int \sin(x) \cos(x) , dx ]

Solution :

Utilisons l'identité trigonométrique (\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)) pour simplifier l'intégrale :

[ \int \sin(x) \cos(x) , dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) , dx ]

Calculons l'intégrale simplifiée :

[ \int \sin(2x) , dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C ]

Donc, la solution est :

[ \int \sin(x) \cos(x) , dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C ]

Exercice 5 : Intégration d'une fonction exponentielle

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante : [ \int e^{3x} , dx ]

Solution :

Pour intégrer une fonction exponentielle, nous utilisons la règle d'intégration de base pour (\int e^{ax} , dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C) :

[ \int e^{3x} , dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C ]

Exercice 6 : Intégration par substitution

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante en utilisant une substitution appropriée : [ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} , dx ]

Solution :

Utilisons la substitution (x = \sin(t)), ce qui implique (dx = \cos(t) , dt) et (1-x^2 = \cos^2(t)) :

[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} , dx = \int \frac{\cos(t)}{\cos(t)} , dt = \int 1 , dt ]

L'intégrale devient simplement :

[ \int 1 , dt = t + C ]

En remplaçant t par (\arcsin(x)), nous obtenons :

[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} , dx = \arcsin(x) + C ]

Ces exercices vous offrent une variété de techniques d'intégration, vous permettant de vous adapter à différents types de fonctions. Assurez-vous de pratiquer régulièrement pour maîtriser chaque méthode