Exercices de Calcul Intégral - MPSI

 Exercice 1 : Équation fonctionnelle simple

Considérez l'équation fonctionnelle suivante :

[ f(x + y) = f(x) + f(y) ]

Question

: Trouvez toutes les fonctions ( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) qui satisfont cette équation.

Piste de solution

:

• Essayez de déterminer la valeur de ( f(0) ) en substituant (</post_context>

Exercice 2 : Intégration simple

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Solution :

1. Décomposition de l'intégrale :

   [ \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) , dx = \int_{0}^{1} 3x^2 , dx + \int_{0}^{1} 2x , dx + \int_{0}^{1} 1 , dx ]

2. Calcul de chaque terme :

   • (\int_{0}^{1} 3x^2 , dx = \left[ x^3 \right]_{0}^{1} = 1^3 - 0^3 = 1)

   • (\int_{0}^{1} 2x , dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1)

   • (\int_{0}^{1} 1 , dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1)

3. Résultat final :

   [ \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) , dx = 1 + 1 + 1 = 3 ]

Exercice 3 : Intégrale d'une fonction composée

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \cdot e^x , dx ]

Solution :

1. Utilisation de l'intégration par parties :

   Soit ( u = \sin(x) ) et ( dv = e^x , dx ).

   • ( du = \cos(x) , dx )

   • ( v = e^x )

   Appliquez la formule de l'intégration par parties : (\int u , dv = uv - \int v , du).

2. Application de la formule :

   [ \int \sin(x) \cdot e^x , dx = \sin(x) \cdot e^x - \int e^x \cdot \cos(x) , dx ]

   Cette intégrale nécessite une nouvelle intégration par parties pour ( \int e^x \cdot \cos(x) , dx ), que je vous encourage à compléter selon la méthode détaillée dans vos cours.

Conclusion

Ces exercices fournissent une base solide pour maîtriser les techniques de calcul intégral. N'hésitez pas à explorer davantage d'exercices pour améliorer votre compréhension et votre compétence.

Calcul Intégral : Exercices Corrigés

 

Le calcul intégral est une branche fondamentale des mathématiques qui traite des intégrales, des antidérivées et des applications de ces concepts. Voici un ensemble d'exercices corrigés pour vous aider à mieux comprendre et pratiquer le calcul intégral.

Exercice 1 : Calcul d'une Intégrale Définie

Problème

Calculez l'intégrale définie suivante :

[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Solution

1. Trouvez la primitive de la fonction. La primitive de (3x^2) est (x^3), celle de (2x) est (x^2), et celle de (1) est (x).

2. Appliquez la formule de l'intégrale définie :

[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) , dx = \left[ x^3 + x^2 + x \right]_{0}^{2} ]

3. Calculez les valeurs aux bornes :

[ = (2^3 + 2^2 + 2) - (0^3 + 0^2 + 0) = 8 + 4 + 2 = 14 ]

La valeur de l'intégrale définie est 14.

Exercice 2 : Application des Intégrales

Problème

Trouvez l'aire sous la courbe de la fonction (f(x) = x^2) entre (x = 1) et (x = 3).

Solution

1. Identifiez la fonction à intégrer : (f(x) = x^2).

2. Trouvez la primitive : La primitive de (x^2) est (\frac{x^3}{3}).

3. Appliquez la formule de l'intégrale définie :

[ \int_{1}^{3} x^2 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} ]

4. Calculez les valeurs aux bornes :

[ = \left( \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \right) = \left( \frac{27}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} ]

L'aire sous la courbe est (\frac{26}{3}).

Exercice 3 : Intégrales Impropres

Problème

Calculez l'intégrale impropre suivante :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx ]

Solution

1. Trouvez la primitive de (\frac{1}{x^2}) : (-\frac{1}{x}).

2. Exprimez l'intégrale impropre comme une limite :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} ]

3. Calculez la limite :

[ = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 0 + 1 = 1 ]

La valeur de l'intégrale impropre est 1.

Ces exercices offrent un aperçu des techniques fondamentales du calcul intégral. En les pratiquant, vous renforcerez votre compréhension des concepts clés et serez mieux préparé pour les applications avancées.

Exercices sur les Intégrales pour Terminale STI2D

 

Les intégrales sont un concept fondamental en mathématiques, particulièrement important pour les élèves en Terminale STI2D. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser ce sujet.

Exercice 1 : Calcul d'une Intégrale Définie

Enoncé :

Calculez l'intégrale définie suivante :

[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Solution :

1. Primitivation : Trouver la primitive de la fonction (3x^2 + 2x + 1).

   • La primitive de (3x^2) est (x^3).

   • La primitive de (2x) est (x^2).

   • La primitive de (1) est (x).

   Donc, la primitive de (3x^2 + 2x + 1) est (x^3 + x^2 + x).

2. Calcul de l'intégrale : [ \left[ x^3 + x^2 + x \right]_{0}^{2} = (2^3 + 2^2 + 2) - (0^3 + 0^2 + 0) ]

   [ = (8 + 4 + 2) - 0 = 14 ]

Exercice 2 : Application des Intégrales

Enoncé :

Trouvez l'aire de la région délimitée par la courbe (y = 4 - x^2) et l'axe des abscisses entre (x = -2) et (x = 2).

Solution :

1. Déterminer l'intégrale : [ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) , dx ]

2. Primitivation :

   • La primitive de (4) est (4x).

   • La primitive de (-x^2) est (-\frac{x^3}{3}).

   Donc, la primitive de (4 - x^2) est (4x - \frac{x^3}{3}).

3. Calcul de l'intégrale : [ \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) ]

   [ = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{-8}{3} \right) ]

   [ = \left( \frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right) ]

   [ = \frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} = 16 ]

   L'aire de la région est donc 16 unités carrées.

Ces exercices permettent de comprendre comment appliquer les intégrales pour résoudre des problèmes concrets. N'hésitez pas à pratiquer davantage pour vous familiariser avec ces concepts.

Exercices sur les Intégrales Triples

 

Les intégrales triples permettent de calculer le volume ou d'autres propriétés d'une fonction à trois variables dans un espace tridimensionnel. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser ce concept.

Exercice 1 : Calcul d'une Intégrale Triple Simple

Énoncé : Calculez l'intégrale triple de la fonction ( f(x, y, z) = xyz ) sur le cube défini par ( 0 \leq x, y, z \leq 1 ).

Solution :

1. Définir les limites d'intégration :

   • Pour ( x ), ( y ), et ( z ), les limites vont de 0 à 1.

2. Calcul de l'intégrale :

   • [ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz , dx , dy , dz ]

   
   

3. Résolution :

   • Intégrez d'abord par rapport à ( x ): [ \int_0^1 xyz , dx = \left[ \frac{x^2}{2} yz \right]_0^1 = \frac{1}{2} yz ]

   • Ensuite, par rapport à ( y ): [ \int_0^1 \frac{1}{2} yz , dy = \left[ \frac{1}{4} y^2 z \right]_0^1 = \frac{1}{4} z ]

   • Enfin, par rapport à ( z ): [ \int_0^1 \frac{1}{4} z , dz = \left[ \frac{1}{8} z^2 \right]_0^1 = \frac{1}{8} ]

   • Résultat final : (\frac{1}{8})

Exercice 2 : Volume d'une Région Définie

Énoncé : Trouvez le volume de la région de l'espace définie par ( x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 ) et ( z \geq 0 ).

Indications :

1. Utilisez des coordonnées sphériques pour simplifier le calcul.

2. Rappelez-vous que le volume d'une hémisphère est la moitié de celui d'une sphère complète.

Coordonnées sphériques :

• ( x = \rho \sin\theta \cos\phi )

• ( y = \rho \sin\theta \sin\phi )

• ( z = \rho \cos\theta )

Limites :

• ( 0 \leq \rho \leq 1 )

• ( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} )

• ( 0 \leq \phi \leq 2\pi )

Solution :

1. Expression de l'intégrale en coordonnées sphériques :

   • [ \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \rho^2 \sin\theta , d\rho , d\theta , d\phi ]

   
   

2. Calcul des intégrales :

   • Intégrer par rapport à ( \rho ): [ \int_0^1 \rho^2 , d\rho = \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} ]

   • Ensuite par rapport à ( \theta ): [ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta , d\theta = \left[ -\cos\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 ]

   • Enfin par rapport à ( \phi ): [ \int_0^{2\pi} , d\phi = 2\pi ]

3. Résultat final :

   • Volume = ( \frac{1}{3} \times 1 \times 2\pi = \frac{2\pi}{3} )

Ces exercices vous permettront de mieux comprendre les intégrales triples et leur application à des problèmes géométriques et physiques.

Exercices d'Intégrales Multiples

 

Les intégrales multiples jouent un rôle crucial dans le calcul des aires et des volumes, entre autres applications en mathématiques et en physique. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser ce concept.

Exercice 1 : Intégrale Double

Calculez l'intégrale double suivante sur la région ( R ) définie par ( 0 \leq x \leq 2 ) et ( 0 \leq y \leq 1 ) :

[ \iint_R (3x^2 + 2y) , dx , dy ]

Solution

1. Définissez la région d'intégration et les bornes.

2. Intégrez d'abord par rapport à ( x ), puis par rapport à ( y ).

3. Calculez les valeurs pour obtenir le résultat final.

Exercice 2 : Changement de Variables

Calculez l'intégrale double suivante en utilisant le changement de variables approprié :

[ \iint_R e^{x^2 + y^2} , dx , dy ]

où ( R ) est le cercle unité ( x^2 + y^2 \leq 1 ).

Solution

1. Convertissez l'intégrale en coordonnées polaires.

2. Évaluez l'intégrale en utilisant les nouvelles variables.

Exercice 3 : Volume Sous une Surface

Trouvez le volume du solide situé sous la surface ( z = x^2 + y^2 ) et au-dessus du rectangle défini par ( 0 \leq x \leq 1 ) et ( 0 \leq y \leq 2 ).

Solution

1. Définissez la région d'intégration.

2. Calculez l'intégrale double pour déterminer le volume.

Exercice 2 : Intégrales Multiples

Les intégrales multiples sont un outil puissant en analyse mathématique, permettant de calculer des volumes et des sommes dans des espaces de dimensions supérieures. Dans cet exercice, nous allons explorer les intégrales doubles et triples, en se concentrant sur leurs applications et méthodes de calcul.

Question

Calculez l'intégrale double suivante sur la région ( R ) :

[ \iint_R (x^2 + y^2) , dx , dy ]

où ( R ) est le rectangle défini par ( 0 \leq x \leq 2 ) et ( 0 \leq y \leq 3 ).

Piste de solution

1. Décomposez l'intégrale : Puisque ( R ) est un rectangle, nous pouvons écrire l'intégrale double comme un produit de deux intégrales simples : [ \iint_R (x^2 + y^2) , dx , dy = \int_0^3 \left( \int_0^2 (x^2 + y^2) , dx \right) dy ]

2. Calculez l'intégrale intérieure : Intégrez d'abord par rapport à ( x ) : [ \int_0^2 (x^2 + y^2) , dx = \int_0^2 x^2 , dx + \int_0^2 y^2 , dx ] [ = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 + y^2 \left[ x \right]_0^2 = \frac{8}{3} + 2y^2 ]

3. Calculez l'intégrale extérieure : Ensuite, intégrez par rapport à ( y ) : [ \int_0^3 \left( \frac{8}{3} + 2y^2 \right) dy = \frac{8}{3} \int_0^3 dy + 2 \int_0^3 y^2 , dy ] [ = \frac{8}{3} \times 3 + 2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^3 = 8 + 2 \times 9 = 26 ]

La valeur de l'intégrale double est donc 26.

Remarques

• Changement d'ordre : Dans certains cas, changer l'ordre d'intégration peut simplifier le calcul. Assurez-vous de comprendre la région d'intégration.

• Applications pratiques : Les intégrales doubles et triples sont souvent utilisées dans la physique pour calculer des volumes, des centres de masse, etc.

Exercice suivant

Pour approfondir la compréhension, essayez de calculer des intégrales triples en utilisant des coordonnées cylindriques ou sphériques pour explorer des volumes dans des espaces tridimensionnels.

Ces exercices vous aideront à développer une compréhension plus approfondie des intégrales multiples et de leurs applications. N'hésitez pas à résoudre chaque exercice pas à pas et à vérifier vos réponses !