Exercice : Puissance d'un Nombre Relatif

 

Dans cet exercice, nous allons explorer comment calculer la puissance d'un nombre relatif. Les puissances permettent de multiplier un nombre par lui-même un certain nombre de fois. Nous allons aborder les bases du calcul des puissances avec des exemples pratiques.

Objectif de l'Exercice

Comprendre et appliquer les règles de calcul des puissances pour les nombres relatifs.

Rappel Théorique

1. Définition : La puissance d'un nombre est une façon de représenter une multiplication répétée du même nombre. Par exemple, (a^n) signifie que le nombre (a) est multiplié par lui-même (n) fois.

2. Propriétés des puissances :

   • (a^m \times a^n = a^{m+n})

   • ((a^m)^n = a^{m \times n})

   • (a^0 = 1) pour tout (a \neq 0)

   • (a^{-n} = \frac{1}{a^n})

Exemples

Exemple 1 : Puissance Positive

Calculez ( (-3)^4 ).

• ( (-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) )

• ( = 9 \times 9 = 81 )

Exemple 2 : Puissance Négative

Calculez ( (-2)^{-3} ).

• ( (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} )

• ( = \frac{1}{(-2) \times (-2) \times (-2)} )

• ( = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} )

Exemple 3 : Puissance Zéro

Calculez ( 5^0 ).

• ( 5^0 = 1 )

Exercice Pratique

1. Calculez ( (-4)^3 ).

2. Calculez ( 2^{-2} ).

3. Calculez ( (-1)^5 ).

4. Calculez ( 7^0 ).

Solutions

1. ( (-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4) = -64 )

2. ( 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} )

3. ( (-1)^5 = -1 )

4. ( 7^0 = 1 )

Rappel des Règles des Puissances

1. Puissance d'un nombre positif :
   ((+a)^n = +a \times +a \times \ldots \times +a) (n fois)

2. Puissance d'un nombre négatif :

   • Si (n) est pair : ((-a)^n = a^n)

   • Si (n) est impair : ((-a)^n = -a^n)

3. Puissance de zéro :
   (0^n = 0) pour tout (n > 0)

4. Puissance de un :
   (1^n = 1) pour tout (n)

5. Puissance de zéro à la puissance zéro :
   (0^0) est indéterminé.

Exemples de Calculs

Exemple 1 : Puissance d'un nombre positif

Calculer ( (3)^4 ):

[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 ]

Exemple 2 : Puissance d'un nombre négatif avec exposant pair

Calculer ((-2)^6):

[ (-2)^6 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 64 ]

Exemple 3 : Puissance d'un nombre négatif avec exposant impair

Calculer ((-3)^5):

[ (-3)^5 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = -243 ]

Exercices à Réaliser

1. Calculez ( (-4)^3 ).

2. Calculez ( (5)^2 ).

3. Calculez ( (-1)^8 ).

4. Calculez ( 0^5 ).

Résolution des Exercices

1. ((-4)^3) : [ (-4) \times (-4) \times (-4) = -64 ]

2. (5^2) : [ 5 \times 5 = 25 ]

3. ((-1)^8) : [ (-1) \times (-1) \times \ldots \quad (\text{8 fois}) = 1 ]

4. (0^5) : [ 0 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0 ]

En pratiquant ces exercices, vous vous familiariserez avec les règles des puissances et leur application aux nombres relatifs. N'hésitez pas à poser des questions si quelque chose n'est pas clair !