Exercices Corrigés sur les Puissances à Exposant Négatif

 

Les puissances à exposant négatif sont un concept important en mathématiques, souvent rencontré dans les cours de niveau secondaire. Comprendre comment manipuler ces puissances peut être utile dans de nombreux contextes. Voici quelques exercices corrigés pour vous aider à maîtriser ce sujet.

Rappel des Règles de Base

Avant de plonger dans les exercices, rappelons les règles de base concernant les puissances à exposant négatif :

• Règle de l’exposant négatif : Pour tout nombre non nul ( a ) et tout entier ( n ), ( a^{-n} = \frac{1}{a^n} ).

Exercices

Exercice 1

Simplifiez l’expression suivante :

[ 5^{-3} ]

Solution :

1. Appliquez la règle de l’exposant négatif : [ 5^{-3} = \frac{1}{5^3} ]

2. Calculez ( 5^3 ) : [ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 ]

3. L’expression simplifiée est : [ 5^{-3} = \frac{1}{125} ]

Exercice 2

Calculez l’expression suivante :

[ (2^{-2}) \times (3^{-1}) ]

Solution :

1. Appliquez la règle de l’exposant négatif à chaque terme : [ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} ] [ 3^{-1} = \frac{1}{3} ]

2. Multipliez les fractions : [ \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{4 \times 3} = \frac{1}{12} ]

Exercice 3

Simplifiez l’expression suivante :

[ \frac{4^{-2}}{2^{-3}} ]

Solution :

1. Appliquez la règle de l’exposant négatif à chaque terme : [ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} ] [ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} ]

2. Simplifiez la division des fractions : [ \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{8}} = \frac{1}{16} \times \frac{8}{1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} ]

Exercice 4

Énoncé : Simplifiez l'expression suivante : (2^{-3}).

Solution :

Pour simplifier une puissance à exposant négatif, il faut prendre l'inverse de la base élevée à l'exposant positif. Ainsi,

[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} ]

Exercice 5

Énoncé : Écrivez sous forme de fraction l'expression suivante : (5^{-2}).

Solution :

Pour convertir une puissance à exposant négatif, on utilise la règle suivante :

[ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} ]

Exercice 6

Énoncé : Simplifiez l'expression ((3^{-1} \cdot 4^{-2})).

Solution :

Pour simplifier cette expression, on simplifie chaque terme individuellement puis on multiplie les fractions.

[ 3^{-1} = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} ]

Ainsi,

[ 3^{-1} \cdot 4^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{48} ]

Exercice 7

Énoncé : Calculez la valeur de l'expression suivante : ((7 \cdot 2^{-1})^{-2}).

Solution :

D'abord, simplifions l'expression à l'intérieur des parenthèses :

[ 2^{-1} = \frac{1}{2} ]

Donc,

[ 7 \cdot 2^{-1} = \frac{7}{2} ]

Ensuite, on élève cette quantité à la puissance de (-2) :

[ \left(\frac{7}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49} ]

Ainsi, la valeur de l'expression est (\frac{4}{49}).

Exercice 8

Énoncé : Transformez l'expression suivante en une fraction : ((x^{-3} \cdot y^2)^{-1}).

Solution :

On commence par inverser l'exposant :

[ (x^{-3} \cdot y^2)^{-1} = \frac{1}{x^{-3} \cdot y^2} ]

En appliquant la règle des puissances, on obtient :

[ = \frac{1}{\frac{y^2}{x^3}} = \frac{x^3}{y^2} ]

Conclusion

Ces exercices vous montrent comment transformer et simplifier des puissances à exposant négatif en utilisant la règle fondamentale. Pratiquer ces concepts vous facilitera la résolution de problèmes plus complexes impliquant des puissances. N'hésitez pas à créer vos propres exercices pour vous entraîner davantage !