Exercices sur les Exposants Fractionnaires

 

Les exposants fractionnaires peuvent être un concept déroutant au début, mais avec un peu de pratique, ils deviennent plus faciles à comprendre. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser l'utilisation des exposants fractionnaires.

Rappel Théorique

Avant de commencer les exercices, rappelons quelques notions importantes :

1. Exposant Fractionnaire : Un exposant de la forme ( a^{\frac{m}{n}} ) signifie que vous prenez la racine n-ième de ( a ), puis élevez le résultat à la puissance m. Mathématiquement, cela s'écrit :
   [ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m ]

2. Exemples :

   • ( 27^{\frac{2}{3}} ) signifie que vous trouvez la racine cubique de 27 (qui est 3), puis élevez le résultat au carré (3² = 9).

   • ( 16^{\frac{3}{4}} ) signifie que vous trouvez la racine quatrième de 16 (qui est 2), puis élevez le résultat à la puissance 3 (2³ = 8).

Exercices Pratiques

Exercice 1

Calculez la valeur de l'expression suivante :

[ 64^{\frac{2}{3}} ]

Exercice 2

Simplifiez l'expression suivante :

[ 81^{\frac{3}{4}} ]

Exercice 3

Trouvez la valeur de :

[ 125^{\frac{1}{3}} ]

Exercice 4

Calculez :

[ 32^{\frac{5}{5}} ]

Exercice 5

Simplifiez l'expression suivante :

[ 100^{\frac{3}{2}} ]

Solutions

Solution 1

Pour ( 64^{\frac{2}{3}} ) :

1. Trouvez la racine cubique de 64 : (\sqrt[3]{64} = 4)

2. Élevez le résultat au carré : (4^2 = 16)

Solution 2

Pour ( 81^{\frac{3}{4}} ) :

1. Trouvez la racine quatrième de 81 : (\sqrt[4]{81} = 3)

2. Élevez le résultat à la puissance 3 : (3^3 = 27)

Solution 3

Pour ( 125^{\frac{1}{3}} ) :

1. Trouvez la racine cubique de 125 : (\sqrt[3]{125} = 5)

Solution 4

Pour ( 32^{\frac{5}{5}} ) :

1. Simplifiez l'exposant : (\frac{5}{5} = 1)

2. Donc, (32^1 = 32)

Solution 5

Pour ( 100^{\frac{3}{2}} ) :

1. Trouvez la racine carrée de 100 : (\sqrt{100} = 10)

2. Élevez le résultat à la puissance 3 : (10^3 = 1000)

Ces exercices devraient vous aider à mieux comprendre et appliquer les exposants fractionnaires dans diverses situations mathématiques. N'hésitez pas à créer vos propres exercices pour vous entraîner davantage !