Exercices sur les Puissances à Exposants Entiers avec Corrigés

 

Les puissances sont un moyen efficace de simplifier les multiplications répétées d'un même nombre. Voici quelques exercices suivis de leurs solutions détaillées pour vous aider à mieux comprendre ce concept.

Exercice 1 : Calculer des Puissances Simples

Calculez les puissances suivantes :

1. ( 2^5 )

2. ( (-3)^4 )

3. ( 5^0 )

4. ( (-2)^3 )

Solutions :

1. ( 2^5 )

   • Calcul : ( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 )

   • Réponse : ( 32 )

2. ( (-3)^4 )

   • Calcul : ( (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81 )

   • Réponse : ( 81 )

3. ( 5^0 )

   • Par définition, tout nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1.

   • Réponse : ( 1 )

4. ( (-2)^3 )

   • Calcul : ( (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 )

   • Réponse : ( -8 )

Exercice 2 : Simplification d'Expressions avec des Puissances

Simplifiez les expressions suivantes :

1. ( 3^3 \times 3^2 )

2. ( 2^4 \div 2^2 )

3. ( (-5)^3 \times (-5)^2 )

4. ( 7^5 \div 7^5 )

Solutions :

1. ( 3^3 \times 3^2 )

   • Utilisez la propriété des puissances : ( a^m \times a^n = a^{m+n} )

   • ( 3^{3+2} = 3^5 = 243 )

   • Réponse : ( 243 )

2. ( 2^4 \div 2^2 )

   • Utilisez la propriété des puissances : ( a^m \div a^n = a^{m-n} )

   • ( 2^{4-2} = 2^2 = 4 )

   • Réponse : ( 4 )

3. ( (-5)^3 \times (-5)^2 )

   • Utilisez la propriété des puissances : ( a^m \times a^n = a^{m+n} )

   • ( (-5)^{3+2} = (-5)^5 = -3125 )

   • Réponse : ( -3125 )

4. ( 7^5 \div 7^5 )

   • Par définition, tout nombre élevé à la même puissance divisé par lui-même est égal à 1.

   • Réponse : ( 1 )

Exercice 3 : Évaluer des Expressions avec des Puissances Négatives

Calculez les valeurs suivantes :

1. ( 2^{-3} )

2. ( (-4)^{-2} )

3. ( 10^{-1} )

Solutions :

1. ( 2^{-3} )

   • Utilisez la propriété des puissances négatives : ( a^{-n} = \frac{1}{a^n} )

   • ( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} )

   • Réponse : ( \frac{1}{8} )

2. ( (-4)^{-2} )

   • Utilisez la propriété des puissances négatives : ( a^{-n} = \frac{1}{a^n} )

   • ( (-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16} )

   • Réponse : ( \frac{1}{16} )

3. ( 10^{-1} )

   • Utilisez la propriété des puissances négatives : ( a^{-n} = \frac{1}{a^n} )

   • ( 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1 )

   • Réponse : ( 0,1 )

Exercice 4 : Calcul de Puissances Simples

Énoncé : Calculez les puissances suivantes :

1. (3^4)

2. (5^3)

3. (2^6)

Correction :

1. (3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81)

2. (5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125)

3. (2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64)

Exercice 5 : Utilisation des Propriétés des Puissances

Énoncé : Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les propriétés des puissances :

1. (a^3 \times a^2)

2. ((b^4)^2)

3. (\frac{c^5}{c^2})

Correction :

1. (a^3 \times a^2 = a^{3+2} = a^5)

2. ((b^4)^2 = b^{4 \times 2} = b^8)

3. (\frac{c^5}{c^2} = c^{5-2} = c^3)

Exercice 6 : Puissances Négatives et Zéro

Énoncé : Calculez les valeurs suivantes :

1. (7^0)

2. (4^{-2})

3. ((\frac{1}{3})^{-3})

Correction :

1. (7^0 = 1) (Tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à 1)

2. (4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16})

3. ((\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27)

Exercice 7 : Expressions Complexes

Énoncé : Simplifiez les expressions suivantes :

1. ((2^3 \times 2^{-1}) \times 5^0)

2. ((x^2 \times y^{-3}) \div (x^{-1} \times y^2))

Correction :

1. ((2^3 \times 2^{-1}) \times 5^0 = 2^{3-1} \times 1 = 2^2 = 4)

2. ((x^2 \times y^{-3}) \div (x^{-1} \times y^2) = x^{2+1} \times y^{-3-2} = x^3 \times y^{-5} = \frac{x^3}{y^5})

Ces exercices vous aideront à comprendre et à manipuler les puissances avec plus de confiance. N'hésitez pas à les refaire pour vous entraîner !