Exercices de Puissances à Exposants Entiers

 

Les puissances sont un concept mathématique fondamental qui simplifie la multiplication répétée d'un même nombre. Un nombre élevé à une puissance est appelé une "base" élevée à un "exposant". Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser cette compétence.

Rappel des Règles de Base

Avant de commencer les exercices, rappelons quelques règles fondamentales des puissances :

1. Produit de puissances de même base :
   ( a^m \times a^n = a^{m+n} )

2. Quotient de puissances de même base :
   ( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} ) (si ( a \neq 0 ))

3. Puissance d'une puissance :
   ( (a^m)^n = a^{m \times n} )

4. Produit de puissances de bases différentes mais de même exposant :
   ( a^n \times b^n = (a \times b)^n )

5. Puissance de zéro :
   ( a^0 = 1 ) (si ( a \neq 0 ))

Exercices

Exercice 1 : Calculer les Puissances

Calculez les puissances suivantes :

1. ( 3^4 )

2. ( 2^5 )

3. ( 5^3 )

4. ( 10^2 )

Solution :

1. ( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 )

2. ( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 )

3. ( 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 )

4. ( 10^2 = 10 \times 10 = 100 )

Exercice 2 : Simplifier les Expressions

Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les règles des puissances :

1. ( 4^3 \times 4^2 )

2. ( \frac{7^5}{7^2} )

3. ( (2^3)^2 )

4. ( 6^0 )

Solution :

1. ( 4^3 \times 4^2 = 4^{3+2} = 4^5 = 1024 )

2. ( \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 = 343 )

3. ( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 )

4. ( 6^0 = 1 )

Exercice 3 : Résoudre les Équations

Résolvez les équations suivantes pour ( x ) :

1. ( x^3 = 27 )

2. ( x^2 = 49 )

3. ( x^4 = 16 )

Solution :

1. ( x^3 = 27 )
   ( x = \sqrt[3]{27} = 3 )

2. ( x^2 = 49 )
   ( x = \sqrt{49} = 7 )

3. ( x^4 = 16 )
   ( x = \sqrt[4]{16} = 2 )

Exercice 4 : Calcul de Puissances Simples

Calculez les puissances suivantes :

1. (2^3)

2. (5^4)

3. (10^2)

4. (3^5)

Solution :

• (2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8)

• (5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625)

• (10^2 = 10 \times 10 = 100)

• (3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243)

Exercice 5 : Puissances Négatives

Calculez les puissances suivantes :

1. (2^{-2})

2. (5^{-3})

3. (10^{-1})

4. (3^{-4})

Solution :

• (2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4})

• (5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125})

• (10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1)

• (3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81})

Exercice 6 : Propriétés des Puissances

Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les propriétés des puissances :

1. ( (2^3) \times (2^4) )

2. ( (5^2)^3 )

3. ( \frac{10^5}{10^2} )

4. ( (3 \times 2)^3 )

Solution :

• ( (2^3) \times (2^4) = 2^{3+4} = 2^7 = 128 )

• ( (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 = 15625 )

• ( \frac{10^5}{10^2} = 10^{5-2} = 10^3 = 1000 )

• ( (3 \times 2)^3 = 3^3 \times 2^3 = 27 \times 8 = 216 )

Exercice 7 : Expressions Mixtes

Calculez les expressions suivantes :

1. ( 2^3 + 4 \times 2^2 )

2. ( 5^3 - 3 \times 5^1 )

3. ( (2^4 + 2^2) \times 2 )

4. ( 3^2 + 4 \times 3^{-1} )

Solution :

• ( 2^3 + 4 \times 2^2 = 8 + 4 \times 4 = 8 + 16 = 24 )

• ( 5^3 - 3 \times 5^1 = 125 - 3 \times 5 = 125 - 15 = 110 )

• ( (2^4 + 2^2) \times 2 = (16 + 4) \times 2 = 20 \times 2 = 40 )

• ( 3^2 + 4 \times 3^{-1} = 9 + 4 \times \frac{1}{3} = 9 + \frac{4}{3} = 9 + 1.33 = 10.33 )

Ces exercices vous aideront à renforcer votre compréhension des puissances à exposants entiers. N'hésitez pas à pratiquer davantage pour améliorer votre maîtrise de ce concept mathématique essentiel.