Fonction Quadratique

Une fonction quadratique est une fonction mathématique de la forme générale :

[ f(x) = ax^2 + bx + c ]

où ( a ), ( b ), et ( c ) sont des constantes réelles et ( a \neq 0 ). Cette forme est appelée forme canonique d'une fonction quadratique.

Caractéristiques de la Fonction Quadratique

1. Parabole : Le graphe d'une fonction quadratique est une parabole. Si ( a > 0 ), la parabole est orientée vers le haut, et si ( a < 0 ), elle est orientée vers le bas.

2. Sommet : Le sommet de la parabole est le point où elle atteint son maximum ou minimum. Les coordonnées du sommet peuvent être calculées avec la formule :

   [ \text{Sommet} = \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) ]

3. Axe de symétrie : La droite verticale passant par le sommet de la parabole est l'axe de symétrie. Sa équation est :

   [ x = -\frac{b}{2a} ]

4. Racines : Les solutions de l'équation quadratique ( ax^2 + bx + c = 0 ) sont appelées racines et peuvent être trouvées en utilisant la formule quadratique :

   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   • Si ( b^2 - 4ac > 0 ), il y a deux racines réelles distinctes.

   • Si ( b^2 - 4ac = 0 ), il y a une racine réelle unique.

   • Si ( b^2 - 4ac < 0 ), il n'y a pas de racines réelles (les racines sont complexes).

5. Valeur initiale : Le terme constant ( c ) représente la valeur initiale de la fonction lorsque ( x = 0 ).

Applications

Les fonctions quadratiques apparaissent dans divers domaines tels que la physique (pour modéliser la trajectoire des projectiles), l'économie (pour analyser les coûts et les bénéfices), et bien d'autres domaines scientifiques et techniques. Elles sont essentielles pour comprendre les concepts de courbes et de maximisation/minimisation dans de nombreux contextes pratiques.