Fonction Quadratique

 

Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de degré deux, qui peut être exprimée sous la forme générale suivante :

[ f(x) = ax^2 + bx + c ]

où ( a ), ( b ), et ( c ) sont des constantes, avec ( a \neq 0 ).

Formule Quadratique

La formule quadratique est utilisée pour trouver les racines (ou les solutions) d'une équation quadratique de la forme :

[ ax^2 + bx + c = 0 ]

La formule quadratique est donnée par :

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Explication des Termes

• ( x ) : Les solutions de l'équation quadratique

• ( a ) : Coefficient de ( x^2 )

• ( b ) : Coefficient de ( x )

• ( c ) : Terme constant

• ( \pm ) : Indique qu'il y a deux solutions possibles

• ( \sqrt{} ) : Racine carrée

• ( b^2 - 4ac ) : Discriminant de l'équation quadratique

Discriminant

Le discriminant ( D = b^2 - 4ac ) joue un rôle crucial dans la détermination de la nature des racines de l'équation quadratique :

• Si ( D > 0 ) : L'équation a deux solutions réelles et distinctes.

• Si ( D = 0 ) : L'équation a une solution réelle double.

• Si ( D < 0 ) : L'équation a deux solutions complexes (non réelles).

Exemples

Exemple 1

Pour l'équation quadratique suivante :

[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 ]

Les valeurs de ( a ), ( b ), et ( c ) sont respectivement 2, 3, et -2. Calculons le discriminant :

[ D = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 ]

Puis, calculons les racines :

[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} ]

[ x = \frac{-3 \pm 5}{4} ]

Les solutions sont ( x = \frac{2}{4} = 0.5 ) et ( x = \frac{-8}{4} = -2 ).

Exemple 2

Pour l'équation quadratique suivante :

[ x^2 - 4x + 4 = 0 ]

Les valeurs de ( a ), ( b ), et ( c ) sont respectivement 1, -4, et 4. Calculons le discriminant :

[ D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0 ]

Puis, calculons la solution :

[ x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2} ]

[ x = \frac{4}{2} = 2 ]

La solution est double : ( x = 2 ).

Conclusion

La formule quadratique est un outil puissant pour résoudre les équations quadratiques. Comprendre comment utiliser le discriminant pour déterminer la nature des solutions est essentiel pour une analyse complète de ces fonctions.