Étude de la courbe d'une fonction

Énoncé :

Étudiez la courbe de la fonction suivante et déterminez ses caractéristiques principales : [ f(x) = 3x^2 + 5x - 4 ]

Solution :

Pour étudier la courbe de cette fonction polynomiale, nous allons examiner plusieurs aspects, notamment les points critiques, les intervalles de croissance et décroissance, la concavité, et les points d'inflexion.

1. Dérivée de la fonction

Tout d'abord, calculons la dérivée de ( f(x) ) pour trouver les points critiques : [ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5x - 4) = 6x + 5 ]

2. Points critiques

Pour trouver les points critiques, nous résolvons l'équation ( f'(x) = 0 ) : [ 6x + 5 = 0 ] [ x = -\frac{5}{6} ]

3. Intervalles de croissance et décroissance

Analysons le signe de ( f'(x) ) pour déterminer les intervalles de croissance et décroissance :

• Pour ( x < -\frac{5}{6} ), ( f'(x) < 0 ), donc ( f(x) ) est décroissante.

• Pour ( x > -\frac{5}{6} ), ( f'(x) > 0 ), donc ( f(x) ) est croissante.

4. Concavité et points d'inflexion

Calculons la dérivée seconde pour étudier la concavité : [ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x + 5) = 6 ]

Puisque ( f''(x) = 6 > 0 ) pour tout ( x ), la courbe est concave vers le haut sur tout son domaine et il n'y a pas de point d'inflexion.

5. Représentation graphique

Pour une représentation graphique, il est utile de calculer quelques points :

• ( f(0) = -4 )

• ( f(-1) = 3(-1)^2 + 5(-1) - 4 = 3 - 5 - 4 = -6 )

• ( f(1) = 3(1)^2 + 5(1) - 4 = 3 + 5 - 4 = 4 )

Conclusion

La fonction ( f(x) = 3x^2 + 5x - 4 ) est une parabole qui ouvre vers le haut avec son sommet au point critique ( x = -\frac{5}{6} ). Elle décroît sur ((-∞, -\frac{5}{6})) et croît sur ((- \frac{5}{6}, +∞)). La courbe est concave vers le haut sur tout son domaine.