Exercices sur les Fonctions pour BTS

 

Voici quelques exercices supplémentaires sur les fonctions, conçus pour vous aider à mieux comprendre les concepts fondamentaux des fonctions et à vous préparer aux examens de BTS.

Exercice 4 : Étude d'une Fonction Polynomiale

Énoncé :

Étudiez la fonction polynomiale suivante : [ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 ]

Solution :

1. Dérivée de la fonction :

   Calculez la dérivée pour trouver les points critiques. [ f'(x) = 6x^2 - 6x + 1 ]

2. Trouver les points critiques :

   Résolvez ( f'(x) = 0 ) pour trouver les valeurs de ( x ). [ 6x^2 - 6x + 1 = 0 ]

   Utilisez la formule quadratique pour résoudre l'équation : [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{12} ] [ x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{12} ]

3. Étudier le signe de ( f'(x) ) :

   Analysez les intervalles pour déterminer la croissance ou la décroissance.

4. Calcul des valeurs de ( f(x) ) aux points critiques :

   Évaluez ( f(x) ) en remplaçant ( x ) par les valeurs trouvées.

5. Conclusion :

   Déduisez les caractéristiques de la fonction, telles que les points de maximum, de minimum, et le comportement asymptotique.

Exercice 5 : Fonction Trigonométrique

Énoncé :

Calculez la dérivée de la fonction suivante : [ f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) ]

Solution :

Utilisez la règle du produit pour dériver : [ f'(x) = \sin(x) \cdot (-\sin(x)) + \cos(x) \cdot \cos(x) ] [ f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) ]

Cette dérivée est égale à : [ f'(x) = \cos(2x) ]

Ces exercices vous permettront de renforcer vos connaissances des fonctions et de leurs dérivées, essentielles pour les examens de BTS. N'oubliez pas de bien comprendre chaque étape du processus de résolution pour pouvoir l'appliquer à des problèmes similaires.