Intégration d'une Fonction sous la forme f(x) = g(x)

 

Énoncé :

Considérons la fonction ( f(x) = \sqrt{x} \cdot e^x ). Calculez l'intégrale de cette fonction sur l'intervalle ([0, 1]).

Solution :

Pour résoudre cette intégrale, nous devons utiliser une technique adaptée, telle que l'intégration par parties ou une substitution appropriée. Cependant, dans ce cas, une approche numérique ou l'utilisation d'une table d'intégrales peut être nécessaire en raison de la complexité de la fonction.

Méthode d'Intégration par Parties :

1. Choix des fonctions :

   • Choisissons ( u = \sqrt{x} ), alors ( du = \frac{1}{2\sqrt{x}} , dx ).

   • Choisissons ( dv = e^x , dx ), alors ( v = e^x ).

2. Application de la formule : [ \int \sqrt{x} e^x , dx = uv - \int v , du ] [ = \sqrt{x} e^x - \int e^x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} , dx ]

3. Calcul de l'intégrale restante : L'intégrale (\int e^x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} , dx) est complexe et peut nécessiter des techniques numériques ou être référencée dans des tables d'intégrales.

Conclusion :

Cette intégrale ne se résout pas facilement par les méthodes élémentaires d'intégration et peut nécessiter l'utilisation de logiciels de calcul formel ou des tables d'intégrales pour obtenir une solution précise. Pour le calcul numérique, vous pouvez utiliser des méthodes comme la quadrature de Gauss ou la règle de Simpson.

Ces exemples illustrent l'importance de choisir la bonne technique d'intégration en fonction de la forme de la fonction et de la complexité des termes impliqués.