Exercices Corrigés de Géométrie Vectorielle

 

La géométrie vectorielle est une branche fascinante des mathématiques qui explore les vecteurs et leurs applications dans divers domaines, tels que la physique et l'ingénierie. Voici quelques exercices corrigés pour vous aider à maîtriser ce sujet.

Exercice 1 : Addition de Vecteurs

Énoncé :
Soit les vecteurs u = (2, 3) et v = (4, -1). Calculez le vecteur résultant w = u + v.

Solution :
Pour additionner les vecteurs, on additionne leurs composantes respectives.

[ \textbf{w} = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2) ]

Le vecteur résultant w est donc (6, 2).

Exercice 2 : Produit Scalaire

Énoncé :
Calculez le produit scalaire des vecteurs a = (1, 5) et b = (4, 2).

Solution :
Le produit scalaire de deux vecteurs (\textbf{a} = (a_1, a_2)) et (\textbf{b} = (b_1, b_2)) est donné par :

[ \textbf{a} \cdot \textbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 ]

[ \textbf{a} \cdot \textbf{b} = 1 \cdot 4 + 5 \cdot 2 = 4 + 10 = 14 ]

Le produit scalaire est donc 14.

Exercice 3 : Norme d’un Vecteur

Énoncé :
Trouvez la norme du vecteur c = (3, -4).

Solution :
La norme d'un vecteur (\textbf{c} = (c_1, c_2)) est calculée comme suit :

[ |\textbf{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} ]

[ |\textbf{c}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

La norme du vecteur c est 5.

Exercice 4 : Colinéarité de Vecteurs

Énoncé :
Vérifiez si les vecteurs d = (6, 9) et e = (2, 3) sont colinéaires.

Solution :
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple scalaire de l'autre. Dans ce cas, nous vérifions si :

[ \frac{d_1}{e_1} = \frac{d_2}{e_2} ]

[ \frac{6}{2} = \frac{9}{3} ]

[ 3 = 3 ]

Les vecteurs d et e sont colinéaires.

Conclusion

Ces exercices de géométrie vectorielle vous offrent un aperçu des concepts fondamentaux tels que l'addition de vecteurs, le produit scalaire, la norme, et la colinéarité. La compréhension de ces concepts est essentielle pour progresser dans l'étude des mathématiques et de leurs applications pratiques.