Exercices sur les puissances d'un nombre (Niveau 3ème)

 

Les puissances d'un nombre sont un concept fondamental en mathématiques, souvent rencontrées au collège. Voici une série d'exercices pour aider à comprendre et maîtriser ce sujet.

Exercice 1 : Calcul de puissances simples

Calculez les puissances suivantes :

1. ( 2^3 )

2. ( 5^4 )

3. ( 10^2 )

4. ( 3^5 )

5. ( 7^2 )

Solution :

1. ( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 )

2. ( 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 )

3. ( 10^2 = 10 \times 10 = 100 )

4. ( 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243 )

5. ( 7^2 = 7 \times 7 = 49 )

Exercice 2 : Propriétés des puissances

Utilisez les propriétés des puissances pour simplifier les expressions suivantes :

1. ( (2^3) \times (2^4) )

2. ( (5^2)^3 )

3. ( \frac{10^5}{10^2} )

4. ( 3^0 )

5. ( (4^2) \times (4^{-1}) )

Solution :

1. ( (2^3) \times (2^4) = 2^{3+4} = 2^7 = 128 )

2. ( (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 = 15625 )

3. ( \frac{10^5}{10^2} = 10^{5-2} = 10^3 = 1000 )

4. ( 3^0 = 1 ) (car toute puissance avec un exposant 0 est égale à 1)

5. ( (4^2) \times (4^{-1}) = 4^{2 + (-1)} = 4^1 = 4 )

Exercice 3 : Applications pratiques

1. Si un carré a un côté mesurant ( 5 ) cm, quelle est la surface du carré en utilisant les puissances ?

2. Une bactérie se divise en deux toutes les heures. Combien de bactéries y aura-t-il après 5 heures si on commence avec une seule bactérie ?

Solution :

1. Surface du carré = côté(^2) = ( 5^2 = 25 ) cm(^2).

2. Nombre de bactéries après 5 heures = ( 2^5 = 32 ).

Ces exercices couvrent les bases des puissances et leurs applications pratiques. N'hésitez pas à les essayer pour renforcer votre compréhension des puissances.

Exercices sur les Puissances d'un Nombre (Niveau Troisième)

Les puissances d'un nombre sont une partie importante des mathématiques que les élèves de troisième doivent maîtriser. Ces exercices te permettront de pratiquer et de renforcer ta compréhension des puissances.

Règles de Base des Puissances

1. Produit de puissances de même base : ( a^m \times a^n = a^{m+n} )

2. Quotient de puissances de même base : ( a^m \div a^n = a^{m-n} )

3. Puissance d'une puissance : ( (a^m)^n = a^{m \times n} )

4. Puissance d'un produit : ( (a \times b)^n = a^n \times b^n )

5. Puissance d'un quotient : ( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} )

6. Puissance de 0 : ( a^0 = 1 ) (pour tout ( a \neq 0 ))

7. Puissance de 1 : ( a^1 = a )

Exercices

Exercice 1 : Calcul de Puissances

Calcule les puissances suivantes :

a) ( 3^4 )
b) ( 2^5 )
c) ( 5^3 )
d) ( 7^2 )

Exercice 2 : Produit et Quotient de Puissances

Simplifie les expressions suivantes en utilisant les règles de base des puissances :

a) ( 2^3 \times 2^4 )
b) ( 5^6 \div 5^2 )
c) ( (3^2)^3 )
d) ( (4 \times 5)^2 )

Exercice 3 : Puissances avec des Nombres Négatifs

Calcule les puissances suivantes :

a) ( (-3)^2 )
b) ( (-2)^3 )
c) ( (-4)^4 )
d) ( (-5)^5 )

Exercice 4 : Problèmes Pratiques

1. Calcul de la surface : Un carré a un côté de longueur ( 5 ) cm. Calcule la surface du carré en utilisant les puissances.

2. Volume d'un cube : Un cube a une arête de ( 3 ) cm. Calcule le volume du cube en utilisant les puissances.

3. Intérêts Composés : Si €1000 est investi à un taux d'intérêt de 5% par an, calculer la valeur de l'investissement après 3 ans en utilisant la formule des intérêts composés ( A = P(1 + r)^n ).

Réponses

• Exercice 1 :
  a) ( 3^4 = 81 )
  b) ( 2^5 = 32 )
  c) ( 5^3 = 125 )
  d) ( 7^2 = 49 )

• Exercice 2 :
  a) ( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 )
  b) ( 5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625 )
  c) ( (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729 )
  d) ( (4 \times 5)^2 = 4^2 \times 5^2 = 16 \times 25 = 400 )

• Exercice 3 :
  a) ( (-3)^2 = 9 )
  b) ( (-2)^3 = -8 )
  c) ( (-4)^4 = 256 )
  d) ( (-5)^5 = -3125 )

• Exercice 4 :

  1. Surface du carré = ( 5^2 = 25 ) cm(^2)

  2. Volume du cube = ( 3^3 = 27 ) cm(^3)

  3. Valeur de l'investissement après 3 ans = ( 1000(1 + 0.05)^3 \approx 1157.63 ) €

Ces exercices devraient t'aider à bien comprendre et appliquer les puissances dans divers contextes. Bonne pratique !