Fonction puissance : Exercices corrigés

 

La fonction puissance est une notion mathématique essentielle qui permet de manipuler des nombres et des expressions avec des puissances. Voici quelques exercices corrigés pour vous aider à mieux comprendre cette fonction.

Exercice 1 : Calculer une puissance simple

Énoncé : Calculez ( 2^5 ).

Solution :
Pour calculer ( 2^5 ), multipliez le nombre 2 par lui-même 5 fois :
( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 ).

Ainsi, ( 2^5 = 32 ).

Exercice 2 : Simplification d'une expression avec puissances

Énoncé : Simplifiez l'expression ( (3^2)^3 ).

Solution :
Utilisez la propriété des puissances ((a^m)^n = a^{m \times n}) :
( (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 ).

Calculez maintenant ( 3^6 ) :
( 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 729 ).

Donc, ( (3^2)^3 = 729 ).

Exercice 3 : Multiplication de puissances de même base

Énoncé : Calculez ( 5^3 \times 5^4 ).

Solution :
Utilisez la propriété des puissances avec la même base, ( a^m \times a^n = a^{m+n} ) :
( 5^3 \times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7 ).

Calculez maintenant ( 5^7 ) :
( 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 78,125 ).

Ainsi, ( 5^3 \times 5^4 = 78,125 ).

Exercice 4 : Division de puissances de même base

Énoncé : Simplifiez l'expression ( \frac{7^5}{7^2} ).

Solution :
Utilisez la propriété des puissances pour la division, ( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} ) :
( \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 ).

Calculez maintenant ( 7^3 ) :
( 7 \times 7 \times 7 = 343 ).

Donc, ( \frac{7^5}{7^2} = 343 ).

Ces exercices vous aideront à renforcer votre compréhension des fonctions puissance et à appliquer les propriétés des puissances pour simplifier et calculer des expressions mathématiques.

Exercices sur les Puissances - Niveau 4ème

 

Les exercices sur les puissances sont un excellent moyen de renforcer vos compétences mathématiques. Voici une fiche d'exercices destinée aux élèves de 4ème pour pratiquer les règles des puissances.

Rappel des Règles des Puissances

1. Produit de puissances de même base :
   [ a^m \times a^n = a^{m+n} ]

2. Quotient de puissances de même base :
   [ a^m \div a^n = a^{m-n} ]

3. Puissance d'une puissance :
   [ (a^m)^n = a^{m \times n} ]

4. Produit de puissances de même exposant :
   [ a^n \times b^n = (a \times b)^n ]

5. Quotient de puissances de même exposant :
   [ a^n \div b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n ]

Exercices

Exercice 1 : Calculs de Base

Calculez les expressions suivantes :

1. ( 3^4 \times 3^2 )

2. ( 5^7 \div 5^3 )

3. ( (2^3)^4 )

4. ( 7^5 \times 7^0 )

Exercice 2 : Simplification

Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les règles des puissances :

1. ( a^5 \times a^3 \div a^2 )

2. ( (b^4)^3 \times b^2 )

3. ( c^0 \times c^7 )

4. ( (d \times e)^3 \div d^3 )

Exercice 3 : Calculs avec des Nombres Négatifs

Calculez les expressions suivantes en tenant compte des nombres négatifs :

1. ( (-2)^3 \times (-2)^2 )

2. ( (-4)^5 \div (-4)^3 )

3. ( [(-3)^2]^3 )

Exercice 4 : Problèmes Appliqués

1. Problème 1 : Un cube a une arête de longueur ( a ). Quelle est l'expression pour le volume du cube en termes de ( a ) ?

2. Problème 2 : Si la population d'une bactérie double toutes les heures, exprimez la population après ( n ) heures en termes de la population initiale ( P_0 ).

Exercice 5 : Réflexion

1. Pourquoi ( a^0 = 1 ) pour tout nombre non nul ( a ) ?

2. Expliquez comment les règles des puissances peuvent simplifier les calculs dans la vie quotidienne.

Solutions

Exercice 1 : Solutions

1. ( 3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 )

2. ( 5^7 \div 5^3 = 5^{7-3} = 5^4 )

3. ( (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} )

4. ( 7^5 \times 7^0 = 7^{5+0} = 7^5 )

Exercice 2 : Solutions

1. ( a^5 \times a^3 \div a^2 = a^{5+3-2} = a^6 )

2. ( (b^4)^3 \times b^2 = b^{12} \times b^2 = b^{12+2} = b^{14} )

3. ( c^0 \times c^7 = 1 \times c^7 = c^7 )

4. ( (d \times e)^3 \div d^3 = \frac{d^3 \times e^3}{d^3} = e^3 )

Profitez de ces exercices pour améliorer vos compétences sur les puissances et n'hésitez pas à poser des questions si vous avez besoin d'aide supplémentaire !

Fiche d'Exercices sur les Puissances

Introduction aux Puissances

Les puissances sont un concept mathématique fondamental utilisé pour simplifier les multiplications répétées d'un même nombre. Une puissance est composée d'une base et d'un exposant. Par exemple, dans ( a^n ), ( a ) est la base, et ( n ) est l'exposant.

Règles de Base des Puissances

1. Multiplication de puissances de même base :
   ( a^m \times a^n = a^{m+n} )

2. Division de puissances de même base :
   ( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} )

3. Puissance d'une puissance :
   ( (a^m)^n = a^{m \times n} )

4. Produit de puissances avec des bases différentes mais même exposant :
   ( a^n \times b^n = (a \times b)^n )

5. Puissance de zéro :
   ( a^0 = 1 ) (pour ( a \neq 0 ))

6. Puissance négative :
   ( a^{-n} = \frac{1}{a^n} )

Exercices Pratiques

Simplification

Simplifiez les expressions suivantes :

1. ( 3^4 \times 3^2 )

2. ( \frac{5^7}{5^3} )

3. ( (2^3)^4 )

4. ( 6^0 \times 8^5 )

5. ( (4^2 \times 2^2)^3 )

Calcul des Valeurs

Calculez la valeur des expressions suivantes :

1. ( 2^5 )

2. ( 10^3 )

3. ( 7^2 )

4. ( 9^{-2} )

5. ( (3^2) \times (4^3) )

Applications

1. Problème de la vie quotidienne : Si un jardinier plante des fleurs en suivant un motif carré, et qu'il plante ( 5 ) fleurs par côté, combien de fleurs plante-t-il au total ?

2. Problème lié à la physique : La loi de la gravitation universelle de Newton utilise une puissance dans sa formule. Donnez un exemple de son application pour deux objets ayant des masses de ( m_1 = 6 , \text{kg} ) et ( m_2 = 4 , \text{kg} ), séparés par une distance de ( 3 , \text{m} ).

Résumé

Les puissances sont un outil précieux pour simplifier les calculs complexes. Comprendre les règles de base permet de manipuler facilement les expressions mathématiques et de résoudre des problèmes pratiques. Assurez-vous de pratiquer régulièrement pour maîtriser les concepts.

Exercice sur les puissances d'un nombre

 

Introduction aux puissances

Les puissances d'un nombre sont une manière de simplifier l'écriture de multiplications répétées d'un même nombre. Par exemple, écrire 2^3 signifie que le nombre 2 est multiplié par lui-même trois fois : 2 × 2 × 2.

Notation

La notation pour les puissances est généralement sous la forme ( a^n ), où :

• ( a ) est la base,

• ( n ) est l'exposant,

• ( a^n ) se lit « a à la puissance n ».

Propriétés des puissances

Voici quelques propriétés importantes des puissances que vous devez connaître :

1. Produit de puissances de même base : [ a^m \times a^n = a^{m+n} ]

2. Quotient de puissances de même base : [ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} ]

3. Puissance d'une puissance : [ (a^m)^n = a^{m \times n} ]

4. Produit de puissances de bases différentes mais même exposant : [ a^n \times b^n = (a \times b)^n ]

5. Puissance de zéro : [ a^0 = 1 \quad \text{(pour ( a \neq 0 ))} ]

Exercice

Voici un exercice pour pratiquer les règles des puissances :

Énoncé

Calculez les résultats des expressions suivantes :

1. ( 3^4 )

2. ( 10^3 \times 10^2 )

3. ( \frac{5^6}{5^3} )

4. ( (2^3)^2 )

5. ( 7^0 )

Solutions

1. ( 3^4 ) :

   ( 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 )

2. ( 10^3 \times 10^2 ) :

   Utilisez la règle du produit des puissances de même base :
   ( 10^{3+2} = 10^5 = 100000 )

3. ( \frac{5^6}{5^3} ) :

   Utilisez la règle du quotient des puissances de même base :
   ( 5^{6-3} = 5^3 = 125 )

4. ( (2^3)^2 ) :

   Utilisez la règle de la puissance d'une puissance :
   ( 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 )

5. ( 7^0 ) :

   Par définition, toute base élevée à la puissance zéro est égale à un :
   ( 7^0 = 1 )

Conclusion

Les puissances sont un outil mathématique puissant pour simplifier et résoudre des problèmes impliquant des multiplications répétées. En maîtrisant les règles et propriétés des puissances, vous pourrez résoudre des calculs complexes de manière plus efficace. N'hésitez pas à pratiquer davantage pour renforcer votre compréhension !

Exercices sur la Puissance d'un Nombre Relatif

 

Les puissances des nombres relatifs sont un concept fondamental en mathématiques, souvent abordé au collège et au lycée. Ces exercices vous aideront à mieux comprendre comment manipuler les puissances de nombres positifs et négatifs.

Rappel des Règles de Base

1. Puissance d'un nombre positif : Quel que soit l'exposant, le résultat reste positif.

   • Exemple : ( (+3)^2 = 9 )

2. Puissance d'un nombre négatif :

   • Si l'exposant est pair, le résultat est positif.

   • Si l'exposant est impair, le résultat est négatif.

   • Exemple :

     • ( (-2)^2 = 4 )

     • ( (-2)^3 = -8 )

Exercices Pratiques

Exercice 1

Calculez les puissances suivantes :

1. ( (5)^3 )

2. ( (-4)^2 )

3. ( (-3)^4 )

4. ( (2)^5 )

5. ( (-1)^6 )

Exercice 2

Déterminez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :

1. ( (-5)^3 < 0 )

2. ( (-6)^4 = 1296 )

3. ( (-7)^2 = 49 )

4. ( (8)^1 = 8 )

5. ( (-9)^0 = 1 )

Exercice 3

Simplifiez les expressions suivantes :

1. ((-x)^2)

2. ((-x)^3)

3. ((y^2)^3)

4. ((a^3 \cdot a^2))

5. ((b^4 \div b^2))

Solutions

Solutions pour l'Exercice 1

1. ( (5)^3 = 125 )

2. ( (-4)^2 = 16 )

3. ( (-3)^4 = 81 )

4. ( (2)^5 = 32 )

5. ( (-1)^6 = 1 )

Solutions pour l'Exercice 2

1. Vrai : ( (-5)^3 = -125 )

2. Vrai : ( (-6)^4 = 1296 )

3. Vrai : ( (-7)^2 = 49 )

4. Vrai : ( (8)^1 = 8 )

5. Vrai : ( (-9)^0 = 1 )

Solutions pour l'Exercice 3

1. ((-x)^2 = x^2)

2. ((-x)^3 = -x^3)

3. ((y^2)^3 = y^6)

4. ((a^3 \cdot a^2) = a^{3+2} = a^5)

5. ((b^4 \div b^2) = b^{4-2} = b^2)

Ces exercices devraient vous aider à renforcer votre compréhension des puissances des nombres relatifs. N'hésitez pas à pratiquer davantage pour maîtriser ce concept !