Nombre de Carrés dans ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} )

 

Dans le contexte des mathématiques, en particulier dans la théorie des nombres, il est intéressant d'explorer les propriétés des anneaux de congruence, notamment ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ), où ( p ) est un nombre premier. Un des concepts fascinants à étudier est celui des carrés dans cet ensemble.

Définition de ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} )

L'ensemble ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ) est l'ensemble des classes de congruence modulo ( p ). Cela signifie que chaque élément de cet ensemble est une classe d'équivalence d'entiers qui sont congruents modulo ( p ). Par exemple, si ( p = 5 ), alors les éléments de ( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} ) sont ([0], [1], [2], [3], [4]).

Carrés dans ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} )

Un élément ( a ) de ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ) est appelé un carré s'il existe un entier ( x ) tel que ( x^2 \equiv a \pmod{p} ). Autrement dit, ( a ) est un carré s'il peut être exprimé comme le produit de lui-même par un autre élément de ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ).

Calcul du Nombre de Carrés

Pour déterminer le nombre de carrés dans ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ), on peut utiliser les propriétés des résidus quadratiques. Les résultats suivants sont essentiels :

• Si ( p \equiv 1 \pmod{4} ), alors la moitié des éléments non nuls de ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ) sont des carrés.

• Si ( p \equiv 3 \pmod{4} ), alors exactement la moitié des éléments non nuls de ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ) sont des carrés, mais le zéro n'est pas pris en compte dans ce calcul.

Comme ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ) contient ( p ) éléments, il y a ((p-1)/2) éléments non nuls qui sont des carrés.

Exemple

Prenons un exemple concret avec ( p = 7 ):

1. Les éléments de ( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} ) sont ([0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]).

2. Calculons les carrés : ([0^2], [1^2], [2^2], [3^2], [4^2], [5^2], [6^2]) donnent ([0], [1], [4], [2], [2], [4], [1]).

Ainsi, les carrés non nuls sont ([1], [2], [4]), ce qui confirme que nous avons ((7-1)/2 = 3) carrés parmi les éléments non nuls.

Conclusion

En résumé, dans un anneau de congruence ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ) où ( p ) est premier, il y a exactement ((p-1)/2) carrés distincts parmi les éléments non nuls. Cette propriété est particulièrement utile dans divers domaines des mathématiques comme la cryptographie et la théorie des nombres.